Префиксное хэширование

Введение

Префиксное хэширование — это мощный метод, используемый в алгоритмах и структурах данных для ускорения различных вычислений и обработки строк. Этот метод широко применяется в задачах, связанных с обработкой текстов, таких как поиск подстрок, сравнение строк и другие. В данной статье мы рассмотрим основные концепции, применение и реализацию префиксного хэширования.

Основные Концепции

Префикс

Префиксом строки $S$ называется любая её начальная подстрока. Например, для строки “алгоритм”, префиксы включают "", “а”, “ал”, “алг”, и так далее до самой строки “алгоритм”.

Хэширование

Хэширование — это процесс преобразования данных в фиксированный размер, обычно в виде числового значения. Хэш-функция $h$ принимает строку $S$ и возвращает целое число $h (S)$ . Хорошая хэш-функция должна распределять значения равномерно и минимизировать количество коллизий (случаи, когда разные строки имеют одинаковый хэш).

Префиксное Хэширование

Префиксное хэширование — это техника, где для каждого префикса строки вычисляется хэш, что позволяет быстро вычислять хэши подстрок. Это достигается путем предварительного вычисления хэшей всех префиксов строки.

Применение Префиксного Хэширования

Поиск Подстрок

Одной из ключевых областей применения префиксного хэширования является задача поиска подстрок. Например, чтобы найти все вхождения подстроки $T$ в строку $S$ , можно вычислить хэш $T$ и сравнивать его с хэшами подстрок $S$ соответствующей длины.

Сравнение Подстрок

Префиксное хэширование позволяет быстро сравнивать подстроки строки. Если нужно узнать, равны ли подстроки $S [i : j]$ и $S [k : l]$ , достаточно сравнить их хэши.

Реализация Префиксного Хэширования

Алгоритм

Рассмотрим строку $S$ длины $n$ и хэш-функцию $h$ . Основная идея префиксного хэширования заключается в следующем:

Вычислить хэши всех префиксов строки $S$ .
Для каждой подстроки можно вычислить её хэш с использованием хэшей префиксов.

Вычисление Хэшей Префиксов

Для строки $S$ длины $n$ вычислим массив хэшей префиксов $H$ , где $H [i]$ — хэш префикса $S [0 : i - 1]$ . Это можно сделать за линейное время:

H [i] = (H [i - 1] \cdot p + S [i - 1]) mod m

где:

$p$ — некоторое простое число (например, 31 или 37),
$m$ — модуль (обычно большое простое число).

Изначально $H [0] = 0$ .

Вычисление Хэша Подстроки

Хэш подстроки $S [l : r]$ можно вычислить за $O (1)$ времени с использованием предвычисленных хэшей префиксов:

h (S [l : r]) = (H [r] - H [l] \cdot p^{r - l} mod m + m) mod m

где $p^{r - l}$ можно предварительно вычислить и хранить.

Пример Реализации на Python

def compute_prefix_hashes(S, p=31, m=10**9+7):
    n = len(S)
    H = [0] * (n + 1)
    p_powers = [1] * (n + 1)
    
    for i in range(1, n + 1):
        H[i] = (H[i-1] * p + ord(S[i-1])) % m
        p_powers[i] = (p_powers[i-1] * p) % m
        
    return H, p_powers
 
def substring_hash(H, p_powers, l, r, m=10**9+7):
    return (H[r] - H[l] * p_powers[r-l] % m + m) % m
 
# Пример использования
S = "алгоритм"
H, p_powers = compute_prefix_hashes(S)
hash_substring = substring_hash(H, p_powers, 2, 5)  # Хэш подстроки "гор"
print(hash_substring)

Заключение

Префиксное хэширование — это мощная техника, которая позволяет эффективно решать задачи, связанные с обработкой строк. Предварительное вычисление хэшей префиксов позволяет быстро находить и сравнивать подстроки, что делает этот метод полезным в различных алгоритмических задачах.

Преимущества

Эффективность: Позволяет вычислять хэши подстрок за $O (1)$ время после предвычислений.
Гибкость: Может использоваться в различных задачах, связанных с обработкой текстов.

Ограничения

Проблема коллизий: Возможны коллизии хэшей, которые могут требовать дополнительных проверок.
Выбор параметров: Требуется тщательный выбор параметров $p$ и $m$ для минимизации коллизий и оптимизации работы.

Префиксное хэширование — это один из фундаментальных методов, который стоит изучить каждому, кто работает с алгоритмами и структурами данных, особенно в контексте обработки строк и текстов.

m4lvx

Explorer