Что называется характеристическим уравнением для ЛОДУ порядка «n»?

Характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) порядка $n$

Характеристическое уравнение для линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) порядка $n$ — это алгебраическое уравнение, которое возникает при решении ЛОДУ методом поиска экспоненциальных решений вида $y=e^{\lambda x}$.

Формулировка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение $n$-го порядка с постоянными коэффициентами: $a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\dots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

Для нахождения решения этого уравнения предлагается искать решения в форме $y=e^{\lambda x}$, где $\lambda$ — неизвестный параметр. Подставляя $y=e^{\lambda x}$ в уравнение и производные $y^{(k)}={\lambda }^k{e}^{\lambda x}$, получаем:

$a_n{\lambda }^n{e}^{\lambda x}+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}{e}^{\lambda x}+\dots +a_1\lambda e^{\lambda x}+a_0{e}^{\lambda x}=0$

Так как $e^{\lambda x}\ne 0$ для всех $x$, можно сократить на $e^{\lambda x}$:

$a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +a_1\lambda +a_0=0$

Это алгебраическое уравнение называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения.

Примеры

Пример 1: Второго порядка

Рассмотрим уравнение второго порядка: $y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=0$

Характеристическое уравнение: ${\lambda }^2+3\lambda +2=0$

Решение характеристического уравнения: $\lambda =-1,\lambda =-2$

Общее решение дифференциального уравнения: $y(x)=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-2x}$

Пример 2: Третьего порядка

Рассмотрим уравнение третьего порядка: $y^{\prime \prime \prime }-6y^{\prime \prime }+11y^{\prime }-6y=0$

Характеристическое уравнение: ${\lambda }^3-6{\lambda }^2+11\lambda -6=0$

Решение характеристического уравнения (например, методом разложения на множители): $\lambda =1,\lambda =2,\lambda =3$

Общее решение дифференциального уравнения: $y(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}+C_3{e}^{3x}$

Обобщение

Характеристическое уравнение для ЛОДУ порядка $n$ позволяет находить решения дифференциального уравнения путем решения соответствующего алгебраического уравнения. Корни характеристического уравнения (действительные или комплексные) определяют вид общего решения ЛОДУ.