Определитель Вронского и для чего он нужен?

Определитель Вронского

Определитель Вронского (или вронскиан) — это детерминант, используемый для проверки линейной независимости решений системы линейных дифференциальных уравнений.

Определение

Пусть у нас есть $n$ решений $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ линейного дифференциального уравнения $n$-го порядка: $y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=0$

Определитель Вронского этих решений определяется как детерминант матрицы, составленной из этих решений и их производных до порядка $n-1$:

$$W(y_1,y_2,\dots ,y_n)(x)=\left|\begin{array}{cccc}{y}_1(x)& y_2(x)& \cdots & y_n(x)\\ y_1^{\prime }(x)& y_2^{\prime }(x)& \cdots & y_n^{\prime }(x)\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ y_1^{(n-1)}(x)& y_2^{(n-1)}(x)& \cdots & y_n^{(n-1)}(x)\end{array}\right|$$

Пример

Рассмотрим два решения $y_1(x)$ и $y_2(x)$ для дифференциального уравнения второго порядка:

$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$

Определитель Вронского для этих двух решений:

$$W(y_1,y_2)(x)=\left|\begin{array}{cc}{y}_1(x)& y_2(x)\\ y_1^{\prime }(x)& y_2^{\prime }(x)\end{array}\right|=y_1(x)y_2^{\prime }(x)-y_2(x)y_1^{\prime }(x)$$

Применение

Определитель Вронского используется для проверки линейной независимости решений дифференциального уравнения. Важное свойство состоит в следующем:

• Если $W(y_1,y_2,\dots ,y_n)(x)\ne 0$ для некоторого значения $x$, то функции $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ линейно независимы.
• Если $W(y_1,y_2,\dots ,y_n)(x)=0$ для всех $x$, то функции $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ линейно зависимы.

Зачем нужен определитель Вронского

Определитель Вронского важен для следующих задач:

1. Проверка линейной независимости решений: Он позволяет определить, являются ли найденные решения дифференциального уравнения линейно независимыми, что важно для построения общего решения.
2. Построение общего решения: Для линейного дифференциального уравнения $n$-го порядка общее решение можно записать как линейную комбинацию $n$ линейно независимых частных решений. Определитель Вронского помогает удостовериться в том, что мы нашли именно такие линейно независимые решения.
3. Анализ поведения решений: Вронскиан может использоваться для изучения поведения решений, в частности, их устойчивости и чувствительности к начальным условиям.

Заключение

Определитель Вронского является важным инструментом в теории дифференциальных уравнений, позволяющим проверить линейную независимость решений и тем самым способствующим построению общего решения дифференциального уравнения.