Какой вид имеет линейное ДУ 1-го порядка?

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, в котором производная функции первого порядка и сама функция $y$ входят линейно. Общий вид такого уравнения можно записать следующим образом:

$y^{\prime }+p(x)y=q(x)$

где:

• $y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ — первая производная функции $y$ по $x$;
• $p(x)$ и $q(x)$ — заданные функции от $x$.

Однородное и неоднородное уравнение

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка может быть однородным или неоднородным:

1. Однородное уравнение: $y^{\prime }+p(x)y=0$ В этом случае правая часть уравнения равна нулю.

2. Неоднородное уравнение: $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ В этом случае правая часть уравнения $q(x)$ является ненулевой функцией.

Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

Для решения линейного дифференциального уравнения первого порядка часто используется метод интегрирующего множителя. Вот основные шаги решения:

1. Приведение уравнения к стандартной форме: Убедитесь, что уравнение имеет вид $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$.

2. Нахождение интегрирующего множителя: Интегрирующий множитель $\mu (x)$ находится по формуле:

   $$\mu (x)=e^{\int p(x)dx}$$

3. Умножение уравнения на интегрирующий множитель: Умножьте уравнение на $\mu (x)$, чтобы получить:

   $$\mu (x)y^{\prime }+\mu (x)p(x)y=\mu (x)q(x)$$

   Левую часть уравнения можно записать как производную произведения:

   $$\frac{d}{dx}[\mu (x)y]=\mu (x)q(x)$$

4. Интегрирование: Интегрируйте обе части уравнения по $x$:

   $$\mu (x)y=\int \mu (x)q(x)dx+C$$

   где $C$ — постоянная интегрирования.

5. Решение уравнения относительно $y$: Разделите на $\mu (x)$ для получения окончательного решения:

   $$y=\frac{1}{\mu (x)}\left(\int \mu (x)q(x)dx+C\right)$$

Пример

Рассмотрим уравнение: $y^{\prime }+2y=e^x$

1. Приведем уравнение к стандартной форме (оно уже в стандартной форме): $p(x)=2,q(x)=e^x$

2. Найдем интегрирующий множитель:

   $$\mu (x)=e^{\int 2dx}=e^{2x}$$

3. Умножим уравнение на $\mu (x)$:

   $$e^{2x}{y}^{\prime }+2e^{2x}y=e^{3x}$$

4. Запишем левую часть уравнения как производную:

   $$\frac{d}{dx}[e^{2x}y]=e^{3x}$$

5. Интегрируем обе части уравнения:

   $$e^{2x}y=\int e^{3x}dx=\frac{1}{3}{e}^{3x}+C$$

6. Решим уравнение относительно $y$:

   $$y=e^{-2x}\left(\frac{1}{3}{e}^{3x}+C\right)=\frac{1}{3}{e}^x+C{e}^{-2x}$$

Таким образом, общее решение уравнения: $y=\frac{1}{3}{e}^x+C{e}^{-2x}$