Общее, частное и особое решение ДУ, интегральная кривая – определения.

Определения

Общее решение дифференциального уравнения

Общее решение дифференциального уравнения — это семейство решений, содержащее все возможные решения уравнения. Оно включает одну или несколько произвольных констант.

Для дифференциального уравнения $n$-го порядка общее решение имеет вид: $y(x)=f(x,C_1,C_2,\dots ,C_n)$ где $C_1,C_2,\dots ,C_n$ — произвольные константы.

Частное решение дифференциального уравнения

Частное решение дифференциального уравнения — это конкретное решение, получаемое из общего решения при определенных значениях произвольных констант.

Для уравнения $y^{\prime }=f(x,y)$ частное решение может быть записано как: $y(x)=f(x)$ где все произвольные константы имеют определенные значения.

Особое решение дифференциального уравнения

Особое решение дифференциального уравнения — это решение, которое не может быть получено из общего решения путем выбора значений произвольных констант. Такое решение удовлетворяет дифференциальному уравнению, но его нельзя выразить через общее решение.

Особое решение часто возникает в уравнениях, где производная $y^{\prime }$ становится неопределенной или бесконечной при определенных значениях $x$ и $y$.

Интегральная кривая

Интегральная кривая — это кривая на плоскости $(x,y)$, которая является графиком решения дифференциального уравнения. Каждое решение дифференциального уравнения соответствует своей интегральной кривой.

Для уравнения $y^{\prime }=f(x,y)$ интегральная кривая — это множество точек $(x,y)$, удовлетворяющих этому уравнению.

Примеры

Пример 1: Общее и частное решение

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка: $y^{\prime }=2y$

Общее решение: $y=C{e}^{2x}$ где $C$ — произвольная константа.

Частное решение для $C=1$: $y=e^{2x}$

Пример 2: Особое решение

Рассмотрим уравнение: $(y^{\prime }{)}^2=4y$

Общее решение: $y=(x+C{)}^2$

Особое решение: $y=0$

Пример 3: Интегральная кривая

Рассмотрим дифференциальное уравнение: $y^{\prime }=x+y$

Решение этого уравнения: $y=-x-1+C{e}^x$

Интегральная кривая для частного решения $y=-x-1+e^x$ будет представлять собой график функции $y=-x-1+e^x$.

Обобщение

• Общее решение: Включает все возможные решения и содержит произвольные константы.
• Частное решение: Конкретное решение, полученное из общего решения при определенных значениях констант.
• Особое решение: Решение, не входящее в общее семейство решений, но удовлетворяющее уравнению.
• Интегральная кривая: Графическое представление решения дифференциального уравнения на плоскости $(x,y)$.