Какой вид имеет решение системы n ЛОДУ при n различных вещественных корнях характеристического многочлена?

Решение системы $n$ линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) при $n$ различных вещественных корнях характеристического многочлена

Рассмотрим систему $n$ линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка:

$${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$$

где:

• $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ — вектор неизвестных функций.
• $A$ — матрица коэффициентов размером $n\times n$.

Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение матрицы $A$ определяется как:

$$\det (A-\lambda I)=0$$

где $\lambda$ — собственные значения матрицы $A$, а $I$ — единичная матрица.

Случай $n$ различных вещественных корней

Пусть характеристическое уравнение имеет $n$ различных вещественных корней:

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$$

Решение системы

Для каждого собственного значения ${\lambda }_i$ (где $i=1,2,\dots ,n$), существует соответствующий собственный вектор ${\mathbf{v}}_i$, удовлетворяющий:

$$(A-{\lambda }_{i}I){\mathbf{v}}_i=0$$

Общее решение системы дифференциальных уравнений будет линейной комбинацией решений, связанных с этими собственными значениями и собственными векторами:

$$\mathbf{x}(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{\mathbf{v}}_1+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{\mathbf{v}}_2+\dots +c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}{\mathbf{v}}_n$$

где $c_1,c_2,\dots ,c_n$ — произвольные константы, определяемые начальными условиями.

Пример

Рассмотрим систему с матрицей $A$:

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)$$

1. Характеристическое уравнение:

   $$\det (A-\lambda I)=\det \left(\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 0& 3-\lambda \end{array}\right)=(2-\lambda )(3-\lambda )$$ $${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=3$$

2. Собственные векторы: Для ${\lambda }_1=2$:

   $$(A-2I){\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{11}\\ v_{12}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$ $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$

   Для ${\lambda }_2=3$:

   $$(A-3I){\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_{21}\\ v_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$ $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$

3. Общее решение:

   $$\mathbf{x}(t)=c_1{e}^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+c_2{e}^{3t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$ $$\mathbf{x}(t)=\left(\begin{array}{c}{c}_1{e}^{2t}+c_2{e}^{3t}\\ c_2{e}^{3t}\end{array}\right)$$

Заключение

Решение системы $n$ линейных однородных дифференциальных уравнений при $n$ различных вещественных корнях характеристического многочлена представляет собой линейную комбинацию экспоненциальных функций, умноженных на соответствующие собственные векторы. Эти экспоненциальные функции имеют в основаниях собственные значения матрицы $A$, а коэффициенты линейной комбинации определяются начальными условиями.