Какой вид имеет линейное однородное ДУ высшего порядка и его структура решения?

Линейное однородное дифференциальное уравнение высшего порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) высшего порядка имеет следующий общий вид: $a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\dots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$ где $a_0,a_1,\dots ,a_n$ — постоянные коэффициенты или функции от $x$, и $y^{(k)}$ обозначает $k$-ю производную функции $y$.

Структура решения ЛОДУ высшего порядка

Решение ЛОДУ высшего порядка включает нахождение фундаментальной системы решений и построение общего решения как линейной комбинации этих решений.

1. Характеристическое уравнение

Для уравнений с постоянными коэффициентами: $a_n{y}^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\dots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

Мы ищем решения вида $y=e^{\lambda x}$. Подстановка $y=e^{\lambda x}$ и его производных в уравнение приводит к характеристическому уравнению: $a_n{\lambda }^n+a_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +a_1\lambda +a_0=0$

2. Корни характеристического уравнения

Решая характеристическое уравнение, мы находим $\lambda$-значения, которые могут быть:

• Действительными
• Комплексными (в виде сопряженных пар)
• Кратными

3. Фундаментальная система решений

Каждому типу корней соответствуют следующие виды решений:

• Действительные корни: Если ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_k$ — действительные корни характеристического уравнения, то соответствующие решения уравнения: $y_i(x)=e^{{\lambda }_{i}x}$

• Комплексные корни: Если $\lambda =\alpha \pm i\beta$ — комплексные корни, то соответствующие решения: $y(x)=e^{\alpha x}(\cos (\beta x)\text{ или }\sin (\beta x))$

• Кратные корни: Если $\lambda$ — кратный корень кратности $m$, то соответствующие решения: $y(x)=e^{\lambda x},x{e}^{\lambda x},x^2{e}^{\lambda x},\dots ,x^{m-1}{e}^{\lambda x}$

4. Общее решение

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения $n$-го порядка записывается как линейная комбинация всех независимых решений, найденных из характеристического уравнения: $y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\dots +C_n{y}_n(x)$ где $C_1,C_2,\dots ,C_n$ — произвольные константы, определяемые начальными условиями.

Пример

Рассмотрим уравнение третьего порядка: $y^{\prime \prime \prime }-6y^{\prime \prime }+11y^{\prime }-6y=0$

1. Характеристическое уравнение: ${\lambda }^3-6{\lambda }^2+11\lambda -6=0$

2. Решение характеристического уравнения: $\lambda =1,\lambda =2,\lambda =3$

3. Фундаментальная система решений: $y_1(x)=e^x,y_2(x)=e^{2x},y_3(x)=e^{3x}$

4. Общее решение: $y(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}+C_3{e}^{3x}$

Заключение

Структура решения линейного однородного дифференциального уравнения высшего порядка включает следующие шаги:

1. Составление характеристического уравнения.
2. Нахождение корней характеристического уравнения.
3. Построение фундаментальной системы решений на основе найденных корней.
4. Запись общего решения как линейной комбинации фундаментальных решений.