Дайте определение однородного ДУ 1-го порядка и однородной функции измерения «n». Какой вид имеет уравнение Бернулли?

Определения

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Однородное дифференциальное уравнение первого порядка — это дифференциальное уравнение вида: $\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$ где правая часть $f\left(\frac{y}{x}\right)$ зависит только от отношения $\frac{y}{x}$.

Такое уравнение можно привести к виду с разделяющимися переменными путем замены $y=vx$, где $v=\frac{y}{x}$.

Пример однородного дифференциального уравнения первого порядка

Рассмотрим уравнение: $\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}$

Это уравнение является однородным, поскольку функция на правой стороне зависит только от отношения $\frac{y}{x}$.

Однородная функция измерения $n$

Однородная функция измерения $n$ — это функция $f(x,y)$, которая удовлетворяет условию: $f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$ для всех $t>0$.

Здесь $n$ называется степенью однородности функции.

Пример однородной функции

Функция $f(x,y)=x^2+y^2$ является однородной функции измерения 2, поскольку: $f(tx,ty)=(tx{)}^2+(ty{)}^2=t^2(x^2+y^2)=t^{2}f(x,y)$

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли — это нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее вид: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$ где $n\ne 0$ и $n\ne 1$.

Пример уравнения Бернулли

Рассмотрим уравнение Бернулли: $\frac{dy}{dx}+3y=2x{y}^2$

Метод решения уравнения Бернулли

1. Замена переменной: Вводим новую переменную $v=y^{1-n}$. Тогда:

   $$y=v^{\frac{1}{1-n}}$$

   и

   $$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(v^{\frac{1}{1-n}})=\frac{1}{1-n}{v}^{\frac{1}{1-n}-1}\frac{dv}{dx}$$

2. Подстановка в исходное уравнение: Подставляем $y$ и $\frac{dy}{dx}$ в уравнение Бернулли:

   $$\frac{1}{1-n}{v}^{\frac{1}{1-n}-1}\frac{dv}{dx}+P(x)v^{\frac{1}{1-n}}=Q(x)$$

   Упростим выражение, заметив, что $v^{\frac{1}{1-n}-1}=v^{\frac{1-n-1}{1-n}}=v^{\frac{-n}{1-n}}$:

   $$\frac{1}{1-n}{v}^{\frac{-n}{1-n}}\frac{dv}{dx}+P(x)v^{\frac{1}{1-n}}=Q(x)v^{\frac{-n}{1-n}}$$

   Преобразуем уравнение:

   $$\frac{1}{1-n}\frac{dv}{dx}+P(x)v=Q(x)$$

3. Получение линейного уравнения: Мы получили линейное дифференциальное уравнение относительно новой переменной $v$:

   $$\frac{dv}{dx}+(1-n)P(x)v=(1-n)Q(x)$$

4. Решение линейного уравнения: Решаем линейное уравнение методом, подходящим для уравнений первого порядка (например, методом интегрирующего множителя).

5. Возвращение к исходной переменной: После нахождения решения $v(x)$, возвращаемся к переменной $y$ через $v=y^{1-n}$.

Заключение

• Однородное дифференциальное уравнение первого порядка: $\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{y}{x}\right)$
• Однородная функция измерения $n$: $f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$
• Уравнение Бернулли: $\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$

Эти определения и методы важны для понимания и решения различных типов дифференциальных уравнений.