Что такое «нормальная» система дифференциальных уравнений первого порядка?

Нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка

Нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка — это система дифференциальных уравнений, в которой производные всех неизвестных функций выражены явно через сами функции и независимую переменную. Такая система имеет следующий общий вид:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=f_1(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ x_2^{\prime }=f_2(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\\ ⋮\\ x_n^{\prime }=f_n(t,x_1,x_2,\dots ,x_n)\end{array}$$

где:

• $t$ — независимая переменная (часто интерпретируемая как время);
• $x_1,x_2,\dots ,x_n$ — неизвестные функции от $t$;
• $f_1,f_2,\dots ,f_n$ — заданные функции, зависящие от $t$ и $x_1,x_2,\dots ,x_n$.

Примеры

Пример 1

Простейшая линейная система первого порядка с постоянными коэффициентами:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n+g_1(t)\\ x_2^{\prime }=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n+g_2(t)\\ ⋮\\ x_n^{\prime }=a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\dots +a_{nn}{x}_n+g_n(t)\end{array}$$

где $a_{ij}$ — постоянные коэффициенты, а $g_i(t)$ — заданные функции от $t$.

Пример 2

Нелинейная система:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=x_1^2+x_2\sin (t)\\ x_2^{\prime }=e^{x_1}-t{x}_2\end{array}$$

Решение нормальной системы

Решение нормальной системы дифференциальных уравнений первого порядка заключается в нахождении функций $x_1(t),x_2(t),\dots ,x_n(t)$, которые удовлетворяют системе на некотором интервале $t$.

Для решения нормальных систем дифференциальных уравнений могут использоваться аналитические и численные методы. Некоторые из наиболее распространенных методов:

1. Метод Эйлера — простой численный метод первого порядка точности.
2. Метод Рунге-Кутта — семейство методов с различными порядками точности, наиболее известный из которых — метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
3. Метод Адамса — численный метод, использующий значения производных на нескольких предыдущих шагах.

Пример численного решения

Рассмотрим систему:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=x_1+x_2\\ x_2^{\prime }=x_1-x_2\end{array}$$

Начальные условия: $x_1(0)=1$, $x_2(0)=0$.

Используем метод Эйлера с шагом $h$:

1. Вычисляем новые значения функций на следующем шаге:

   $$x_1(t+h)=x_1(t)+h\cdot x_1^{\prime }(t)$$ $$x_2(t+h)=x_2(t)+h\cdot x_2^{\prime }(t)$$

2. Повторяем шаги до достижения нужного интервала $t$.

Такое решение позволяет приблизительно оценить поведение системы на заданном интервале времени.