Что называют линейным дифференциальным уравнением порядка «n»?

Линейное дифференциальное уравнение порядка $n$

Линейное дифференциальное уравнение порядка $n$ — это уравнение, в котором неизвестная функция $y(x)$ и её производные до $n$-го порядка включительно входят линейно. То есть, ни функция $y$, ни её производные не возводятся в степень, не умножаются друг на друга и не входят в аргументы других функций (например, тригонометрических или экспоненциальных).

Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка $n$ с переменными коэффициентами: $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=f(x)$

где:

• $y^{(k)}$ обозначает $k$-ю производную функции $y(x)$ по переменной $x$.
• $a_0(x),a_1(x),\dots ,a_n(x)$ — заданные функции от $x$, называемые коэффициентами уравнения.
• $f(x)$ — заданная функция от $x$, называемая правой частью уравнения. Если $f(x)=0$, уравнение называется однородным, иначе — неоднородным.

Примеры

1. Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами: $y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=0$

2. Неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными коэффициентами: $x{y}^{\prime }+2y=\sin (x)$

3. Однородное линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами: $x^2{y}^{\prime \prime \prime }-3x{y}^{\prime \prime }+2y^{\prime }=0$

Свойства линейных дифференциальных уравнений

1. Принцип суперпозиции: Если $y_1(x)$ и $y_2(x)$ — решения однородного линейного дифференциального уравнения, то их линейная комбинация $c_1{y}_1(x)+c_2{y}_2(x)$, где $c_1$ и $c_2$ — произвольные константы, также является решением этого уравнения.

2. Общее решение: Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Решение линейных дифференциальных уравнений

Для решения линейных дифференциальных уравнений используются различные методы, в зависимости от их типа и порядка, такие как:

1. Метод характеристических уравнений для уравнений с постоянными коэффициентами.
2. Метод вариации произвольных постоянных.
3. Метод неопределенных коэффициентов.
4. Метод Лапласа (для решения уравнений с постоянными коэффициентами с помощью преобразования Лапласа).
5. Метод интегрирующего множителя для уравнений первого порядка.

Заключение

Линейное дифференциальное уравнение порядка $n$ характеризуется тем, что все производные неизвестной функции $y(x)$ входят в уравнение линейно. Эти уравнения играют важную роль в различных областях науки и техники, поскольку многие физические, химические и инженерные задачи моделируются с помощью таких уравнений.