Метод исключения при решении систем ЛОДУ приводит к понижению повышению порядка разрешимого уравнения?

Метод исключения при решении систем ЛОДУ

Метод исключения (или метод элиминации) при решении систем линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) используется для преобразования системы уравнений в одно уравнение более высокого порядка. Этот метод позволяет исключить одну или несколько переменных, чтобы получить одно уравнение относительно оставшейся переменной.

Принцип метода исключения

Рассмотрим систему из двух линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями $x(t)$ и $y(t)$:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y\\ y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y\end{array}$$

Шаги метода исключения

1. Выразите одну переменную через другую: Возьмем первое уравнение и выразим $x^{\prime }$ через $x$ и $y$:

   $$x^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y$$

2. Подставьте это выражение во второе уравнение: Найдем производную $y^{\prime }$ через $x$ и $y$:

   $$y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y$$

3. Исключите одну переменную: Найдем $x$ через $y$ из первого уравнения:

   $$x=\frac{x^{\prime }-a_{12}y}{a_{11}}$$

   Подставим это выражение во второе уравнение:

   $$y^{\prime \prime }=a_{21}\left(\frac{y^{\prime }-a_{12}y}{a_{11}}\right)+a_{22}y$$

4. Получите уравнение более высокого порядка: Приведем к общему знаменателю и упростим:

   $$a_{11}{y}^{\prime \prime }=a_{21}(y^{\prime }-a_{12}y)+a_{11}{a}_{22}y$$ $$y^{\prime \prime }-\left(\frac{a_{21}}{a_{11}}\right)y^{\prime }+\left(\frac{a_{21}{a}_{12}}{a_{11}}-a_{22}\right)y=0$$

Таким образом, мы получили уравнение второго порядка относительно $y$, тогда как исходная система состояла из уравнений первого порядка.

Вывод

Метод исключения при решении систем линейных однородных дифференциальных уравнений приводит к повышению порядка разрешимого уравнения. Этот метод позволяет преобразовать систему из $n$ уравнений первого порядка в одно уравнение более высокого порядка, содержащее одну переменную.

Пример

Рассмотрим систему:

$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=3x+4y\\ y^{\prime }=-4x+3y\end{array}$$

1. Выражаем $x$ через $y$:

   $$x^{\prime }=3x+4y⟹x=\frac{x^{\prime }-4y}{3}$$

2. Подставляем это выражение во второе уравнение:

   $$y^{\prime }=-4\left(\frac{x^{\prime }-4y}{3}\right)+3y=-\frac{4}{3}{x}^{\prime }+\frac{16}{3}y+3y$$ $$y^{\prime }=-\frac{4}{3}{x}^{\prime }+\frac{25}{3}y$$

3. Преобразуем к уравнению второго порядка относительно $y$:

   $$y^{\prime \prime }=-\frac{4}{3}(3x^{\prime }+4y^{\prime })+\frac{25}{3}{y}^{\prime }$$ $$y^{\prime \prime }=-4x^{\prime }-\frac{16}{3}{y}^{\prime }+\frac{25}{3}{y}^{\prime }$$ $$y^{\prime \prime }=-4x^{\prime }+3y^{\prime }$$

Мы видим, что мы повысили порядок уравнения с первого до второго, получив уравнение второго порядка относительно $y$.