Что такое характеристическое уравнение для системы ЛОДУ?

Характеристическое уравнение для системы линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ)

Характеристическое уравнение для системы линейных однородных дифференциальных уравнений (ЛОДУ) — это алгебраическое уравнение, получаемое при нахождении собственных значений матрицы системы. Эти собственные значения используются для построения общего решения системы.

Формулировка

Рассмотрим систему $n$ линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка в матричной форме:

$${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$$

где:

• $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ — вектор неизвестных функций.
• $A$ — матрица коэффициентов размером $n\times n$.

Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение матрицы $A$ получается следующим образом:

1. Вычтем $\lambda I$ из $A$, где $\lambda$ — собственное значение, а $I$ — единичная матрица того же размера, что и $A$.
2. Найдем определитель матрицы $A-\lambda I$.
3. Приравняем этот определитель к нулю.

Это дает характеристическое уравнение:

$$\det (A-\lambda I)=0$$

Шаги построения характеристического уравнения

1. Составление матрицы $A-\lambda I$:

   $$A-\lambda I=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}-\lambda & a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}-\lambda \end{array}\right)$$

2. Вычисление определителя:

   $$\det (A-\lambda I)$$

3. Приравнивание определителя к нулю:

   $$\det (A-\lambda I)=0$$

Пример

Рассмотрим систему из двух уравнений:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=4x_1+3x_2\\ x_2^{\prime }=-2x_1+x_2\end{array}$$

В матричной форме:

$${\mathbf{x}}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}4& 3\\ -2& 1\end{array}\right)\mathbf{x}$$

1. Составим матрицу $A-\lambda I$:

   $$A-\lambda I=\left(\begin{array}{cc}4-\lambda & 3\\ -2& 1-\lambda \end{array}\right)$$

2. Найдем определитель:

   $$\det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}4-\lambda & 3\\ -2& 1-\lambda \end{array}\right|=(4-\lambda )(1-\lambda )-(3)(-2)$$ $$={\lambda }^2-5\lambda +10$$

3. Приравняем определитель к нулю:

   $${\lambda }^2-5\lambda +10=0$$

Решение этого характеристического уравнения даёт собственные значения $\lambda$, которые затем используются для нахождения собственных векторов и построения общего решения системы.

Заключение

Характеристическое уравнение для системы ЛОДУ — это алгебраическое уравнение, определяющее собственные значения матрицы коэффициентов системы. Эти собственные значения играют ключевую роль в нахождении общего решения системы линейных дифференциальных уравнений.