Каков общий вид уравнения с разделяющимися переменными? Что означает термин «проинтегрировать уравнение»?

Уравнение с разделяющимися переменными

Уравнение с разделяющимися переменными — это дифференциальное уравнение, которое можно записать в форме, позволяющей отделить переменные $x$ и $y$ по разные стороны уравнения.

Общий вид уравнения с разделяющимися переменными: $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$

Такое уравнение можно переписать как: $\frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx$

Процесс интегрирования уравнения

Проинтегрировать уравнение означает найти первообразную (интеграл) функции по переменной, чтобы получить общее решение дифференциального уравнения. Для уравнения с разделяющимися переменными это подразумевает интегрирование обеих частей уравнения по соответствующим переменным.

Шаги интегрирования уравнения с разделяющимися переменными

1. Разделение переменных: Уравнение (\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)) преобразуем в (\frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx).

2. Интегрирование обеих частей: Интегрируем обе части уравнения по их переменным:

   $$\int \frac{1}{h(y)}dy=\int g(x)dx$$

3. Нахождение интегралов: Вычисляем интегралы:

   $$G(y)=\int \frac{1}{h(y)}dy\text{и}H(x)=\int g(x)dx$$

4. Запись общего решения: Получаем общее решение в неявной форме:

   $$G(y)=H(x)+C$$

   где $C$ — произвольная константа интегрирования.

Пример

Рассмотрим пример уравнения с разделяющимися переменными: $\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{y}$

1. Разделение переменных:

   $$ydy=2xdx$$

2. Интегрирование обеих частей:

   $$\int ydy=\int 2xdx$$

3. Нахождение интегралов:

   $$\frac{y^2}{2}=x^2+C$$

4. Запись общего решения:

   $$y^2=2x^2+2C\text{или}y=\pm \sqrt{2x^2+2C}$$

Таким образом, проинтегрировать уравнение с разделяющимися переменными означает выполнить интегралы по обеим переменным после их разделения, чтобы найти общее решение уравнения.