Вид решения системы из n ЛОДУ для вещественного собственного числа кратности k с k линейно независимыми собственными векторами?

Рассмотрим систему $n$ линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:

x^{'} = A x

где $x = x_{1} x_{2} ⋮ x_{n}$ — вектор неизвестных функций, $A$ — матрица коэффициентов.

Пусть $λ$ — собственное число матрицы $A$ кратности $k$ , и у него есть $k$ линейно независимых собственных векторов $v_{1}, v_{2}, \dots, v_{k}$ .

Общее решение для такого собственного числа имеет вид:

x (t) = c_{1} e^{λ t} v_{1} + c_{2} e^{λ t} v_{2} + \dots + c_{k} e^{λ t} v_{k}

где $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{k}$ — произвольные константы, зависящие от начальных условий.

Рассмотрим конкретный пример с матрицей $A$ :

A = 400140005

Для этой матрицы $λ_{1} = 4$ является собственным числом кратности $k = 2$ , и $λ_{2} = 5$ является собственным числом кратности $k = 1$ .

(A - 4 I) v = 0

000100001 v_{1} v_{2} v_{3} = 0

Из этого уравнения получаем два линейно независимых собственных вектора для $λ = 4$ :

v_{1} = 100, v_{2} = 010

(A - 5 I) v = 0

- 1 00 1 - 1 0 000 v_{1} v_{2} v_{3} = 0

Собственный вектор для $λ = 5$ :

v_{3} = 001

Общее решение системы:

x (t) = c_{1} e^{4 t} 100 + c_{2} e^{4 t} 010 + c_{3} e^{5 t} 001

Или в развернутом виде:

x (t) = c_{1} e^{4 t} c_{2} e^{4 t} c_{3} e^{5 t}

где $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ — произвольные константы, зависящие от начальных условий.

m4lvx