Матричная форма системы однородных линейных ДУ 1-го порядка с постоянными коэффициентами?

Матричная форма системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами удобна для анализа и решения таких систем. Рассмотрим, как записать и решить такую систему в матричной форме.

Система однородных линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с постоянными коэффициентами

Пусть у нас есть система $n$ однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n\\ x_2^{\prime }=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\dots +a_{2n}{x}_n\\ ⋮\\ x_n^{\prime }=a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\dots +a_{nn}{x}_n\end{array}$$

Матричная форма

Эту систему можно записать в матричной форме следующим образом:

$${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$$

где:

• $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ — вектор функций;
• $A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)$ — матрица коэффициентов.

Решение системы в матричной форме

Общее решение системы можно записать с использованием матричной экспоненты $e^{At}$.

Если $\mathbf{x}(t)$ — вектор решения, то:

$$\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)$$

где:

• $\mathbf{x}(0)$ — вектор начальных условий;
• $e^{At}$ — матричная экспонента, определяемая как:

$$e^{At}=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{(At{)}^k}{k!}$$

Пример

Рассмотрим пример системы из двух уравнений:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=3x_1+4x_2\\ x_2^{\prime }=-4x_1+3x_2\end{array}$$

В матричной форме это записывается как:

$${\mathbf{x}}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -4& 3\end{array}\right)\mathbf{x}$$

где$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$.

Для нахождения решения нужно вычислить матричную экспоненту $e^{At}$:

$$A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -4& 3\end{array}\right)$$

Для матриц размером $2\times 2$ можно использовать следующий метод для вычисления матричной экспоненты:

$$e^{At}=P{e}^{Jt}{P}^{-1}$$

где $P$ — матрица, составленная из собственных векторов $A$, а $J$ — жорданова форма $A$, которая в данном случае является диагональной матрицей из собственных значений $A$.

1. Находим собственные значения $A$:

$$\det (A-\lambda I)=0$$ $$\det \left(\begin{array}{cc}3-\lambda & 4\\ -4& 3-\lambda \end{array}\right)=(3-\lambda {)}^2+16=0$$ $${\lambda }^2-6\lambda +25=0$$ $$\lambda =3\pm 4i$$

2. Находим собственные векторы для каждого собственного значения.

3. Формируем матрицу $P$ и $J$.

4. Вычисляем $e^{Jt}$ как экспоненты от диагональных элементов.

5. Находим $e^{At}$ как $P{e}^{Jt}{P}^{-1}$.

Для полного решения требуется проведение детальных вычислений, но общее решение будет иметь вид:

$$\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)$$

Это общая методика решения систем однородных линейных дифференциальных уравнений в матричной форме с постоянными коэффициентами.