Структура решения ЛНДУ порядка «n»? Для какого вида уравнений применим метод неопределенных коэффициентов – «специальная правая ...

Структура решения ЛНДУ порядка «n»? Для какого вида уравнений применим метод неопределенных коэффициентов – «специальная правая часть»?

Структура решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) порядка $n$

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение $n$-го порядка имеет вид:

$y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=f(x)$

Общее решение $y(x)$ такого уравнения можно представить как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения $y_h(x)$ и частного решения неоднородного уравнения $y_p(x)$:

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$

1. Общее решение однородного уравнения: Общее решение однородного уравнения $y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=0$ обозначается как $y_h(x)$. Для нахождения $y_h(x)$ используются собственные значения и собственные векторы характеристического уравнения. Общее решение имеет вид:

   $y_h(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\dots +C_n{y}_n(x)$

   где $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ — линейно независимые решения однородного уравнения, а $C_1,C_2,\dots ,C_n$ — произвольные константы.

2. Частное решение неоднородного уравнения: Частное решение $y_p(x)$ находится методом неопределенных коэффициентов или методом вариации произвольных постоянных. Оно удовлетворяет исходному неоднородному уравнению:

   $y_p^{(n)}+a_{n-1}(x)y_p^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y_p^{\prime }+a_0(x)y_p=f(x)$

Метод неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов используется для нахождения частного решения $y_p(x)$ для линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и специальными видами правых частей $f(x)$.

Применение метода неопределенных коэффициентов

Метод неопределенных коэффициентов применим для уравнений вида:

$y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\dots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=f(x)$

где $f(x)$ имеет специальный вид, который может быть представлен как линейная комбинация:

1. Полиномов $x^m$
2. Экспоненциальных функций $e^{\alpha x}$
3. Синусоидальных функций $\sin (\beta x)$ и $\cos (\beta x)$
4. Их произведений (например, $x^m{e}^{\alpha x}\sin (\beta x)$)

Специальные правые части

Примеры специальных правых частей $f(x)$:

1. Полиномы: $f(x)=P_m(x)=a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\dots +a_{1}x+a_0$
2. Экспоненциальные функции: $f(x)=e^{\alpha x}$
3. Синусоидальные функции: $f(x)=\sin (\beta x)$ или $f(x)=\cos (\beta x)$
4. Комбинации вышеуказанных функций: $f(x)=x^m{e}^{\alpha x}\cos (\beta x)$

Пример использования метода неопределенных коэффициентов

Рассмотрим пример:

$y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=e^{2x}$

1. Находим общее решение однородного уравнения $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=0$: Характеристическое уравнение:

   $r^2-3r+2=0$

   Корни: $r_1=1$, $r_2=2$ Общее решение однородного уравнения: $y_h(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}$

2. Определяем вид частного решения $y_p(x)$: Поскольку правая часть $f(x)=e^{2x}$ является экспоненциальной функцией, предполагаем частное решение в виде:

   $y_p(x)=A{e}^{2x}$

3. Подставляем $y_p(x)$ в неоднородное уравнение:

   $y_p^{\prime }=2A{e}^{2x}$

   $y_p^{\prime \prime }=4A{e}^{2x}$

   Подставляем в уравнение:

   $4A{e}^{2x}-3(2A{e}^{2x})+2(A{e}^{2x})=e^{2x}$

   $4A{e}^{2x}-6A{e}^{2x}+2A{e}^{2x}=e^{2x}$

   $0=e^{2x}$

Такое предположение не даёт решения, потому что экспоненциальная часть уже входит в общее решение однородного уравнения. Поэтому умножаем на $x$:

$y_p(x)=Ax{e}^{2x}$

4. Подставляем $y_p(x)$ снова:

   $y_p^{\prime }=A{e}^{2x}+2Ax{e}^{2x}$

   $y_p^{\prime \prime }=4A{e}^{2x}+4Ax{e}^{2x}$

   Подставляем в уравнение:

   $(4A{e}^{2x}+4Ax{e}^{2x})-3(A{e}^{2x}+2Ax{e}^{2x})+2(Ax{e}^{2x})=e^{2x}$

   $4A{e}^{2x}+4Ax{e}^{2x}-3A{e}^{2x}-6Ax{e}^{2x}+2Ax{e}^{2x}=e^{2x}$

   $A{e}^{2x}=e^{2x}$

   $A=1$

Частное решение:

$y_p(x)=x{e}^{2x}$

5. Общее решение неоднородного уравнения:

   $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}+x{e}^{2x}$

Таким образом, метод неопределенных коэффициентов позволяет находить частное решение для линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и специальными видами правых частей.