Перечислите этапы матричного метода решения системы линейных однородных ДУ?

Матричный метод решения системы линейных однородных дифференциальных уравнений

Матричный метод используется для решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка. Этот метод позволяет эффективно находить решения с использованием линейной алгебры и теории матриц.

Рассмотрим систему $n$ линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка:

$${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$$

где:

• $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$ — вектор неизвестных функций.
• $A$ — матрица коэффициентов.

Этапы матричного метода

1. Составление системы и запись в матричной форме: Представляем систему дифференциальных уравнений в виде ${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x}$.

2. Нахождение собственных значений матрицы $A$: Решаем характеристическое уравнение матрицы $A$:

   $$\det (A-\lambda I)=0$$

   где $\lambda$ — собственные значения матрицы $A$, а $I$ — единичная матрица.

3. Нахождение собственных векторов: Для каждого собственного значения ${\lambda }_i$ находим соответствующий собственный вектор ${\mathbf{v}}_i$, решая систему:

   $$(A-{\lambda }_{i}I){\mathbf{v}}_i=0$$

4. Построение общего решения системы: Общее решение системы дифференциальных уравнений записывается в виде линейной комбинации собственных векторов, умноженных на экспоненциальные функции, зависящие от собственных значений:

   $$\mathbf{x}(t)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{\mathbf{v}}_1+c_2{e}^{{\lambda }_{2}t}{\mathbf{v}}_2+\dots +c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}{\mathbf{v}}_n$$

   где $c_1,c_2,\dots ,c_n$ — произвольные константы, определяемые начальными условиями.

5. Решение начальной задачи Коши (если заданы начальные условия): Если заданы начальные условия $\mathbf{x}(0)={\mathbf{x}}_0$, то константы $c_i$ находятся из системы уравнений:

   $$\mathbf{x}(0)=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\dots +c_n{\mathbf{v}}_n={\mathbf{x}}_0$$

Пример

Рассмотрим систему:

$$\{\begin{array}{l}{x}_1^{\prime }=3x_1+4x_2\\ x_2^{\prime }=-4x_1+3x_2\end{array}$$

1. Матричная форма:

   $${\mathbf{x}}^{\prime }=A\mathbf{x},A=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ -4& 3\end{array}\right)$$

2. Характеристическое уравнение:

   $$\det (A-\lambda I)=\det \left(\begin{array}{cc}3-\lambda & 4\\ -4& 3-\lambda \end{array}\right)=(\lambda -3{)}^2+16=0$$ $${\lambda }^2-6\lambda +25=0$$ $$\lambda =3\pm 4i$$

3. Собственные векторы: Для $\lambda =3+4i$:

   $$(A-(3+4i)I)\mathbf{v}=0\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}-4i& 4\\ -4& -4i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=0$$

   Решение дает собственный вектор ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right)$.

   Для $\lambda =3-4i$:

   $$(A-(3-4i)I)\mathbf{v}=0\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}4i& 4\\ -4& 4i\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)=0$$

   Решение дает собственный вектор ${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right)$.

4. Общее решение:

   $$\mathbf{x}(t)=c_1{e}^{(3+4i)t}\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right)+c_2{e}^{(3-4i)t}\left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right)$$

   Преобразуем в действительные функции:

   $$\mathbf{x}(t)=e^{3t}\left[c_1{e}^{4it}\left(\begin{array}{c}1\\ i\end{array}\right)+c_2{e}^{-4it}\left(\begin{array}{c}1\\ -i\end{array}\right)\right]$$

   С использованием формул Эйлера $e^{4it}=\cos (4t)+i\sin (4t)$:

   $$\mathbf{x}(t)=e^{3t}\left[(c_1+c_2)\left(\begin{array}{c}\cos (4t)\\ \sin (4t)\end{array}\right)+i(c_1-c_2)\left(\begin{array}{c}\sin (4t)\\ -\cos (4t)\end{array}\right)\right]$$

   Вводя новые константы $C_1=c_1+c_2$ и $C_2=i(c_1-c_2)$, получаем:

   $$\mathbf{x}(t)=e^{3t}\left[C_1\left(\begin{array}{c}\cos (4t)\\ \sin (4t)\end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{c}\sin (4t)\\ -\cos (4t)\end{array}\right)\right]$$

5. Начальная задача Коши (если заданы начальные условия): Подставляем начальные условия для нахождения констант $C_1$ и $C_2$.

Этот метод позволяет получить общее решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений, используя алгебраические свойства матриц и их собственных значений и векторов.