Метод вариации произвольных постоянных – вид и требования к общему решению НЛДУ порядка «n».

Метод вариации произвольных постоянных — это метод, используемый для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Этот метод расширяет метод поиска общего решения однородного уравнения путем замены постоянных интегрирования на функции от независимой переменной.

Вид общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения (НЛДУ) порядка $n$

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение порядка $n$ имеет вид: $y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=f(x)$

Общее решение неоднородного уравнения состоит из суммы: $y(x)=y_h(x)+y_p(x)$ где:

• $y_h(x)$ — общее решение соответствующего однородного уравнения $y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\dots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=0$;
• $y_p(x)$ — частное решение неоднородного уравнения.

Требования к общему решению НЛДУ порядка $n$

1. Общее решение однородного уравнения: Для однородного уравнения $y_h(x)$ определяется общим решением: $y_h(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\dots +C_n{y}_n(x)$ где $y_1(x),y_2(x),\dots ,y_n(x)$ — линейно независимые решения однородного уравнения, а $C_1,C_2,\dots ,C_n$ — произвольные постоянные.

2. Метод вариации произвольных постоянных: Метод вариации произвольных постоянных заключается в замене постоянных $C_i$ на функции $u_i(x)$: $y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)+\dots +u_n(x)y_n(x)$

Для нахождения функций $u_i(x)$ проделываются следующие шаги:

1. Подставляем $y_p(x)$ в исходное неоднородное уравнение.

2. Для упрощения получения уравнений для $u_i(x)$ вводим условия:

   $$\{\begin{array}{l}{u}_1^{\prime }(x)y_1(x)+u_2^{\prime }(x)y_2(x)+\dots +u_n^{\prime }(x)y_n(x)=0\\ u_1^{\prime }(x)y_1^{\prime }(x)+u_2^{\prime }(x)y_2^{\prime }(x)+\dots +u_n^{\prime }(x)y_n^{\prime }(x)=0\\ ⋮\\ u_1^{\prime }(x)y_1^{(n-2)}(x)+u_2^{\prime }(x)y_2^{(n-2)}(x)+\dots +u_n^{\prime }(x)y_n^{(n-2)}(x)=0\end{array}$$

3. Получаем систему уравнений:

   $$\{\begin{array}{l}{u}_1^{\prime }(x)y_1^{(n-1)}(x)+u_2^{\prime }(x)y_2^{(n-1)}(x)+\dots +u_n^{\prime }(x)y_n^{(n-1)}(x)=f(x)\\ u_1^{\prime }(x)y_1(x)+u_2^{\prime }(x)y_2(x)+\dots +u_n^{\prime }(x)y_n(x)=0\\ ⋮\\ u_1^{\prime }(x)y_1^{(n-2)}(x)+u_2^{\prime }(x)y_2^{(n-2)}(x)+\dots +u_n^{\prime }(x)y_n^{(n-2)}(x)=0\end{array}$$

4. Решаем эту систему для $u_i^{\prime }(x)$ и затем находим $u_i(x)$ путем интегрирования.

Пример: Рассмотрим уравнение второго порядка: $y^{\prime \prime }-y=e^x$

1. Общее решение однородного уравнения $y^{\prime \prime }-y=0$: $y_h(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}$

2. Частное решение методом вариации произвольных постоянных: $y_p(x)=u_1(x)e^x+u_2(x)e^{-x}$

3. Система уравнений для $u_1(x)$ и $u_2(x)$:

   $$\{\begin{array}{l}{u}_1^{\prime }(x)e^x+u_2^{\prime }(x)e^{-x}=0\\ u_1^{\prime }(x)e^x-u_2^{\prime }(x)e^{-x}=e^x\end{array}$$

Решение системы:

$$u_1^{\prime }(x)=\frac{e^x}{2},u_2^{\prime }(x)=-\frac{e^x}{2}$$ $$u_1(x)=\frac{e^x}{2},u_2(x)=-\frac{e^x}{2}$$

4. Частное решение:

   $$y_p(x)=\frac{e^{2x}}{2}-\frac{1}{2}$$

5. Общее решение:

   $$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}+\frac{e^{2x}}{2}-\frac{1}{2}$$

Метод вариации произвольных постоянных является мощным инструментом для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, позволяя находить частные решения для широкого класса задач.