Что такое уравнение в полных дифференциалах? Для чего нужен интегрирующий множитель?

Уравнение в полных дифференциалах

Уравнение в полных дифференциалах — это дифференциальное уравнение, которое может быть записано в форме: $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ где $M(x,y)$ и $N(x,y)$ — функции двух переменных $x$ и $y$.

Это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если существует функция $\Phi (x,y)$, такая что: $d\Phi =\frac{\partial \Phi }{\partial x}dx+\frac{\partial \Phi }{\partial y}dy=M(x,y)dx+N(x,y)dy$

В этом случае уравнение можно интегрировать, найдя функцию $\Phi (x,y)$, такую что: $\Phi (x,y)=C$

Необходимое условие для уравнения в полных дифференциалах

Для того чтобы уравнение $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнение условия равенства смешанных частных производных: $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$

Интегрирующий множитель

Интегрирующий множитель — это функция $\mu (x,y)$, с помощью которой можно умножить данное дифференциальное уравнение, чтобы оно стало уравнением в полных дифференциалах.

Применение интегрирующего множителя

Для уравнения, которое не является уравнением в полных дифференциалах: $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$

Интегрирующий множитель $\mu (x,y)$ должен удовлетворять условию: $\frac{\partial (\mu M)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu N)}{\partial x}$

После нахождения подходящего множителя $\mu (x,y)$, уравнение принимает вид: $\mu (x,y)M(x,y)dx+\mu (x,y)N(x,y)dy=0$

Это новое уравнение уже является уравнением в полных дифференциалах и его можно интегрировать.

Пример использования интегрирующего множителя

Рассмотрим уравнение: $(2xy+y^2)dx+(x^2+2xy)dy=0$

Проверим условие равенства смешанных частных производных: $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial (2xy+y^2)}{\partial y}=2x+2y$ $\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial (x^2+2xy)}{\partial x}=2x+2y$

Условие выполнено, поэтому уравнение уже является уравнением в полных дифференциалах. Найдём функцию $\Phi (x,y)$: $M=\frac{\partial \Phi }{\partial x}=2xy+y^2$ Интегрируем $M$ по $x$: $\Phi (x,y)=x^{2}y+x{y}^2+h(y)$

Для определения функции $h(y)$, используем $N$: $N=\frac{\partial \Phi }{\partial y}=x^2+2xy+h^{\prime }(y)$ Поскольку $N=x^2+2xy$, мы получаем: $h^{\prime }(y)=0⟹h(y)=C$

Таким образом: $\Phi (x,y)=x^{2}y+x{y}^2=C$

Заключение

• Уравнение в полных дифференциалах: Уравнение вида $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$, где выполнено условие $\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$.
• Интегрирующий множитель: Функция $\mu (x,y)$, с помощью которой уравнение может быть преобразовано в уравнение в полных дифференциалах, если оно таким не является изначально.